Geometrische Sterne

Ein Diagonalstern bezeichnet eine sternförmige Figur, die aus einem regelmäßigen Polygon entsteht, indem dessen Eckpunkte nach einer bestimmten Regel durch Strecken miteinander verbunden werden. Die dabei entstehenden Strecken sind Diagonalen des zugrunde liegenden Polygons. In der mathematischen Literatur werden solche Figuren auch als Sternpolygone bezeichnet. So behandeln Alsina und Nelsen (2015, S. 198) beispielsweise Pentagramm und Hexagramm als Sternpolygone. Für die vorliegende Lernumgebung wird die Bezeichnung Diagonalstern verwendet, da damit der Zusammenhang zwischen der Sternfigur und dem zugrunde liegenden Polygon als Träger hervorgehoben wird.

Für die Konstruktion wird ein Algorithmus verwendet, bei dem eine Sprungweite festgelegt wird. Die Sprungweite gibt dabei an, wie viele Eckpunkte von einem Ausgangspunkt aus weitergesprungen wird. Der jeweils erreichte Eckpunkt wird mit dem Ausgangspunkt durch eine Strecke verbunden. Diagonalsterne, die mit verschiedenen Sprungweiten konstruiert werden, können bei gleicher Zackenanzahl unterschiedlich aussehen bzw. eine unterschiedliche Form aufweisen.

Je nach Eckenanzahl des zugrunde liegenden Polygons und gewählter Sprungweite werden entweder alle Eckpunkte in einem Durchlauf erreicht oder es entstehen mehrere voneinander getrennte Durchläufe. Werden nicht alle Eckpunkte in einem Durchlauf erreicht, muss die Konstruktion an einem noch nicht durchlaufenen Eckpunkt erneut begonnen werden, um alle Eckpunkte des Polygons einzubeziehen. Der entstehende Diagonalstern besteht aus mehreren Teilfiguren. Wir sagen auch, dass er in mehrere Teilfiguren zerfällt. So kann ein Diagonalstern zu einem regelmäßigen Zwölfeck beispielsweise in regelmäßige Dreiecke oder Vierecke zerfallen.

Grundsätzlich gibt es Sprungweiten, bei denen ein Diagonalstern in mehrere Teilfiguren zerfällt, es sei denn, die Eckenanzahl des zugrunde liegenden Polygons ist prim. In diesem Fall zerfällt der Diagonalstern nicht (Kirsche, im Druck).

Der zugrunde liegende Algorithmus wird in der Lernumgebung in Angebot 8 explizit aufgegriffen. Die Kinder erfahren dabei, dass Diagonalsterne mit gleicher Zackenanzahl bei unterschiedlichen Sprungweiten unterschiedliche Formen aufweisen können. Dabei zeigt sich, dass ein Diagonalstern in regelmäßige Polygone oder in weitere Sternfiguren zerfallen kann. In Angebot 7 untersuchen die Kinder am Beispiel eines Diagonalsterns zu einem regelmäßigen Zwölfeck, welche regelmäßigen Polygone als Teilfiguren auftreten können, und setzen diese anschließend zu Diagonalsternen zusammen.

Falten kann genutzt werden, um symmetrische Figuren zu konstruieren. Ein Anwendungsgebiet ist dabei die Erzeugung von Stern- und Schneeflockenmustern durch mehrfaches Falten und anschließendes Schneiden (Franke & Reinhold, 2016, S. 272 f.). Faltschnitt-Sterne sind ebenfalls symmetrischen Figuren, die durch mehrfaches Falten und anschließendes Schneiden entstehen. Beim Faltschnitt ist zwischen dem Falten als Handlung und dem entstehenden Falz als geometrischer Linie zu unterscheiden. Diese Unterscheidung ist insbesondere deshalb bedeutsam, weil in einem Faltvorgang durchaus mehrere Falze entstehen und damit die Anzahl der Falze größer sein kann als die Anzahl der Faltvorgänge. Der Falz stellt dabei eine Realisierung der Symmetrieachse der entstehenden Figur dar. Bei der in der Lernumgebung verwendeten Falttechnik verdoppelt sich mit jedem weiteren Faltvorgang die Anzahl der Falze und damit die Anzahl der Symmetrieachsen des entstehenden Sterns. Die Kinder können diese Beziehungen zunächst handelnd erfahren und bei der Übertragung auf weitere regelmäßige Polygone verallgemeinern (Angebot 1 und Angebot 3).

Eine zentrale Verbindung zwischen Faltschnitt-Sternen und Diagonalsternen bildet ein Dreieck, das im Rahmen dieser fachlichen Auseinandersetzung als generierendes Dreieck bezeichnet wird. Es lässt sich in jedem Diagonalstern als Teilfigur identifizieren. Betrachtet man den fertigen Stern und faltet ihn entlang seiner Symmetrieachsen zurück, lässt sich das generierende Dreieck als zugrunde liegende Faltfigur erkennen. Das generierende Dreieck erzeugt dabei durch fortlaufende Spiegelungen an den Symmetrieachsen den Stern. Die Faltung simuliert diese Spiegelungen und macht den Zusammenhang zwischen dem Dreieck und der entstehenden Sternfigur handelnd erfahrbar.

Ein Rautenstern entsteht durch vollständige Überdeckung eines regelmäßigen Polygons mit Rauten, also Vierecken mit vier gleich langen Seiten. Alle verwendeten Rauten besitzen dieselbe Seitenlänge und werden „Kante an Kante“ angeordnet. Die Eigenschaften der Raute und die Bedeutung der einheitlichen Seitenlänge werden in der Lernumgebung zunächst am konkreten Material herausgearbeitet (Angebot 2).

Die Überdeckung eines regelmäßigen Polygons mit n Ecken zur Herstellung eines Rautensterns erfolgt in mehreren Schritten durch die Erzeugung von Stockwerken. Das erste Stockwerk besteht aus n kongruenten Rauten mit einem Innenwinkel, der dem n-ten Teil eines Vollwinkels entspricht. Die Rauten sind so angeordnet, dass der namensgebende Stern mit n Zacken entsteht; die Innenwinkel der Rauten werden dabei zu einem Vollkreis ergänzt. In weiteren Stockwerken werden weitere Rauten zwischen die Zacken des vorhergehenden Stockwerks gelegt. Dabei bleibt die Anzahl der verwendeten Rauten zunächst erhalten, ebenso die Zackenanzahl des jeweiligen Stockwerk-Sterns (Kirsche, im Druck). Die Gleichheit von Eckenanzahl, Zackenanzahl und Rautenanzahl im ersten Stockwerk kann in den analogen und digitalen Angeboten aufgegriffen und zunehmend verallgemeinert werden (Angebote 2, 4 und 5).

Bei ungerader Eckenanzahl tritt im letzten Stockwerk eine Besonderheit auf: Die Anzahl der verwendeten Rauten bleibt erhalten, während durch den Konstruktionsprozess eine äußere Begrenzung mit 2n Ecken entsteht. Dadurch erhöht sich die Zackenanzahl des abschließenden Sterns auf 2n.

Bei gerader Eckenanzahl lassen sich die einzelnen Stockwerke eines Rautensterns als Diagonalsterne zum zugrunde liegenden Polygon erkennen. Betrachtet man ein Stockwerk und verlängert die Außenkante einer Raute gedanklich, trifft die Verlängerung auf der gegenüberliegenden Seite wieder auf eine Außenkante einer Raute. Auf diese Weise wird eine Verbindung zwischen Ecken des zugrunde liegenden Polygons sichtbar. Wiederholt man diesen Vorgang, lässt sich das Konstruktionsprinzip des entsprechenden Diagonalsterns erkennen (Angebot 4).

Die Struktur eines geometrischen Sterns besitzt bestimmte Symmetrien. Bei der Gestaltung eines solchen Sterns ist jedoch zwischen der geometrischen Struktur und ihrer farblichen Ausgestaltung – dem Muster – zu unterscheiden. Durch die Farbgebung können Symmetrien erhalten, aufgehoben oder gezielt hervorgehoben werden. Solche Farbsymmetrien spielen beispielsweise auch bei der mathematischen Analyse der periodischen Muster M. C. Eschers eine Rolle (MacGillavry, 2017).

Damit besitzt die kreative Gestaltung der Sterne einen eigenen fachlichen Kern. Die Kinder können untersuchen, wie viele Symmetrien ein Muster aufweist, welche davon durch eine bestimmte Farbgebung erhalten bleiben und wie sich durch gezielte Veränderungen einzelne Symmetrieeigenschaften hervorheben oder aufheben lassen (Angebot 6 und Angebot 9). In Angebot 9 wird diese Untersuchung zudem mit den zuvor eingeführten Symmetrieachsen verbunden; die Suche nach besonderen Vierecken eröffnet einen weiteren Blick auf Teilfiguren geometrischer Sterne.

Bei ähnlichen Figuren verändern sich Umfang und Flächeninhalt in charakteristischer Weise mit der Größe der Figuren. Während sich der Umfang proportional zu einer linearen Vergrößerung verändert, wächst der Flächeninhalt mit dem Quadrat des entsprechenden Längenfaktors. Für die Auseinandersetzung mit Flächeninhalt und Umfang ist darüber hinaus bedeutsam, dass flächengleiche Figuren unterschiedliche Umfänge besitzen können und umgekehrt umfangsgleiche Figuren unterschiedliche Flächeninhalte haben (Franke & Reinhold, 2016, S. 317).

Ein anschauliches Beispiel für die Unabhängigkeit von Flächeninhalt und Umfang ist das von Beutelspacher und Wagner beschriebene Postkartenphänomen. Dabei wird durch eine geschickte Schnitttechnik ein Loch in eine Postkarte geschnitten, dessen Umfang sehr groß sein kann, während der Flächeninhalt der Postkarte unverändert bleibt (Beutelspacher & Wagner, 2008, S. 70). Bei den Rautensternen zeigt sich dazu ein gegenläufiges Phänomen: Beim Hinzufügen weiterer Stockwerke bleibt der Umfang des Sterns erhalten, während sein Flächeninhalt zunimmt (Kirsche, im Druck). Ursache dafür ist, dass die Rauten aller Stockwerke dieselbe Seitenlänge besitzen und die Anzahl der Seiten des Außenrandes erhalten bleibt, während durch jedes weitere Stockwerk zusätzliche Fläche überdeckt wird. Die Kinder können diese Beziehung im Rautenstern beim Vergleich der Stockwerke beobachten und im Rahmen ihrer Begriffswelt begründen (Angebot 4).

Die Angebote eröffnen unterschiedliche Zugänge zu den beschriebenen fachlichen Zusammenhängen. Die Kinder sammeln zunächst konkrete Erfahrungswerte: Sie erfahren, wie Diagonalsterne mithilfe des Algorithmus und unterschiedlicher Sprungweiten entstehen und in mehrere Teilfiguren zerfallen können, wie Falten und Schneiden Symmetrien erzeugen, wie Rauten zu Stockwerken und Sternen angeordnet werden und wie sich in diesen Strukturen Beziehungen zwischen Polygonen, Sternen, Flächeninhalt und Umfang erkennen lassen. Auch die farbliche Gestaltung wird zu einem mathematischen Untersuchungsgegenstand, wenn Symmetrien erhalten, aufgehoben oder hervorgehoben werden.

Nicht alle mathematischen Strukturen müssen dabei im einzelnen Angebot unmittelbar expliziert werden. Vielmehr können die Beobachtungen und Erfahrungswerte im gemeinsamen Nachgang aufgegriffen, verglichen und systematisiert werden. Auf diese Weise lassen sich aus den konkreten Tätigkeiten übergreifende Zusammenhänge zwischen Konstruktion, Anzahl, Symmetrie, Fläche, Umfang und Gestaltung herausarbeiten. Die verschiedenen Angebote bilden damit unterschiedliche Zugänge zu einem miteinander verbundenen fachlichen Gegenstandsbereich.